SCIENCE ABSOLUE DE L'ESPACE indépendante de la vérité ou de la fausseté de l'Axiôme X1 d'Euclide SUIVIE DE LA QUADRATURE GÉOMÉTRIQUE DU CERCLE, DANS LE CAS DE LA FAUSSETÉ DE L'AXIOME XI, PAR JEAN BOLYAI, Capitaine au Corps du Génie dans l'armée autrichienne. § 1. Si la droite am n'est pas coupée par la droite bn, située dans le même plan, mais qu'elle soit coupée par toute autre droite bp, comprise dans l'angle abn, on dira que bn est parallèle à am, c'est à dire qu'on aura bn | am. Il est facile de voir qu'il existe une telle droite bn, et une seule, passant par un point quelconque b (pris hors de am), et que la somme des angles bam, abn ne peut surpasser 2 R. Car, en faisant mouvoir be autour de l jusqu'à ce que l'on ait bam+abc = 2 R, il y aura un instant où be commencera à ne plus couper am, et c'est alors qu'on aura bcam. = Il est clair, en même temps, que bn | em, quel que soit le point e pris sur am. Si, tandis que le point c s'éloigne à l'infini sur am, on prend toujours cd cb, on aura constamment cbd = cdb < nbc. Or nbc. 0; donc aussi adb-0. § 2. Si bn am, on a aussi cnam. Soit, en effet, d un point quelconque de macn. Si c est sur bn, bd coupera am, puisque bn am. Donc cd coupera aussi am. Si c est situé sur up, soit bq | cd; bq tombera à l'intérieur de abn (§ 1), et coupera par conséquent am; donc cd coupera aussi am. Donc loute droite cd (dans acn) coupe, dans l'un et l'autre cas, la droite am, sans que en elle-même coupe am. Donc on a toujours en am. § 3. Si br et cs sont l'une et l'autre I am, et que c ne soit pas situé sur br, alors br et cs ne se couperont pas. Car si br et es avaient un point commun d, alors (§ 2) dr et ds seraient l'une et. l'autre I am, dr (§ 1) coïnciderait avec ds, et c tomberait sur br, ce qui est contre l'hypothèse. § 4. Si man > mab, il y aura, pour tout point b de ab, un point c de am, tel qu'on aura bem nam. On peut, en effet (§ 1), mener bd de façon que bdm nam, et en faisant mdp = man, b sera compris dans nadp. Si donc on transporte nam le long de am, jusqu'à ce que an arrive sur dp, il faudra que an ait passé par b, et que l'on ait eu quelque part bcm nam. Si bn § 5. am, il y a sur am un point f tel que fm bn. En effet, on peut faire en sorte que l'on ait (§ 1) bcm > cbn, et, si ce cb, il en résultera eche, d'où bem <ebn. Faisons mouvoir le point p sur ec. L'angle bpm, pour p voisin de e, commencera par être l'angle pbn correspondant, et pour p voisin de c, il finira par être > pbn. Or, l'angle bpm va en croissant d'une manière continue depuis bem jusqu'à bcm, puisque (§ 4) il n'existe aucun angle > bem et < bcm, auquel bpm ne puisse devenir égal. Pareillement pbn décroît d'une manière continue depuis ebn jusqu'à chn. Il existe donc sur ec un point f tel que bfm=fbn. § 6. Si bn | am, et que e soit un point quelconque de am, g un point quelconque de bn, on aura alors gnem et emgn. Car on a (§ 1) bn || em, d'où (§ 2) gn ||| em. Si Fon fait maintenant fm bn (§ 5), alors mfbnnbfm, et par suite, puisque bn | fm, on a aussi fm bn, et, d'après ce qui précède, em gn. § 7. Si bn et cp sont l'une et l'autre I am, et que c ne soit pas situé sur bn, on aura aussi bn || cp. En effet, bn et cp ne se coupent pas (§ 3). D'ailleurs, am, bn et cp sont ou ne sont pas dans un même plan, et, dans le premier cas, am est ou n'est pas à l'intérieur de bncp. 1' Si am, bn, cp sont dans un même plan, et que am tombe à l'intérieur de bncp, alors toute droite by menée à l'intérieur de noc, coupera um quelque part en d, puisque bn | am. De plus, à cause de dm I cp (§ 6), il est clair que dq coupera cp; donc on a bncp. 2o Si bn et cp sont du même côté de am, l'une d'elles, cp par exemple, sera comprise entre les deux autres droites bn, am. Or, toute droite bq, intérieure à nba, rencontre am; par suite, elle rencontre aussi cp. Donc bncp. 3. Si les plans mab, mac font entre eux un angle, alors cbn et abn ne pourront avoir de commun que la ligne bn, tandis que am (dans abn) n'aura rien de commun avec bn, et par suite aussi nbc n'aura rien de commun avec am. Or, tout plan bcd, mené par la droite bd (situé dans nba), rencontrera am, puisque bq rencontre am (à cause de bn am). En faisant donc mouvoir bed autour de bc, jusqu'à ce que ce plan commence à quitter am, b c d viendra alors coïncider avec bcn. Par la même raison, ce même plan viendra coïncider avec bcp; donc bn est dans le plan bcp. Si, de plus, br || cp, alors (am étant aussi ||| cp) br sera, par la même raison, dans le plan bam, et aussi (puisque br cp) dans le plan bcp. Donc br, étant commune aux deux plans ma b, pcb, n'est autre chose que la ligne bn; donc bn | cp [*]. Si donc cp am, et que b soit extérieur à cam, alors l'intersection bn des plans bam, cap est à la fois à am et à cp. § 8. Si bn est et cp (ou plus brièvement, si bn cp), et que am (dans nbcp) soit sur le milieu de bc, alors bn | am. En effet, si bn rencontrait am, cp rencontrerait aussi am au même point (à cause de ma bn = [*] En plaçant ce 3e cas avant les deux précédents, ceux-ci pourraient se démontrer avec plus de brièveté et d'élégance, comme le 2e cas du % 10. (Note de l'Auteur.) macp, et ce point serait commun aux lignes bn, cp elles-mêmes, tandis qu'au contraire bn cp. D'autre part, toute droite bq, intérieure à con, rencontre cp; elle rencontre donc aussi am. Par conséquent, bn I am. § 9. Si bn || am, map L mab, et que l'angle dièdre dnba des plans nbd, nba (prolongés du même côté de mabn où se trouve map) soit<R; alors map et nbd se couperont. Soit, en effet, bam = R, ac | bn (que e coïncide ou non avec b), et cebn(dansn bd); on aura (par hypothèse) ace<R,et af (L ce) tombera dans a ce. Soit apl'intersection des plans abf, amp (qui ont le point a commun) on aura bap bam R (puisque bam L map). Si enfin l'on fait nouvoir abf autour des points fixes a et b, jusqu'à ce qu'il s'applique sur abm, ap tombera sur um, et puisque a c L bn = et af ac, il est clair que af aura son extrémité entre bn et am, et que par suite bf tombera à l'intérieur de abn. Or, dans cette position, bf rencontre ap (puisque bn || am); donc ap et bf se rencontrent aussi dans la position primitive, et le point de rencontre est commun à map et à nbd. Donc map et nbd se coupent. On en conclut facilement que map et nod se coupent toutes les la somme des angles dièdres qu'ils forment avec mab fois que est < 2 R. |