que les perpendiculaires ab, cd à mn soient égales entre elles, on aura évidemment A dec▲ bea; par suite, les angles (peut

être mixtilignes) ecp, eat coïncideront, et 9 l'on aura ec ea. Si, de plus, cf=ag, alors A acf A cag, et chacun d'eux est la moitié du quadrilatère fagc. Si fagc, hagk

1

sont deux de ces quadrilatères, de base ag, compris entre pq et st, on démontrera leur équivalence (comme chez Euclide), ainsi que l'équivalence des triangles agc, agh, de base commune ag, et ayant leurs sommets sur pq. On a, de plus, act =cag, gcq= cga, et acf + agc +gcg=2 R (§ 32); par suite, on a aussi cag + acgcga = 2 R. Donc, dans tout triangle acg de cette espèce, la somme des angles = 2 R. Soit que la droite ag coïncide avec ag (|| mn), ou non, l'équivalence des triangles age, agh, tant sous le rapport de leurs aires que sous celui de la somme de leurs angles, est évidente.

§ 40.

=

Des triangles équivalents abc, abd (que nous supposerons désor mais rectilignes), ayant un côté égal, ont des sommes d'angles égales. Menons, en effet, mn par les milieux de ac et de be, et soit (par le point c) pq il mn. Le point d tombera sur pq. Car, si bd coupe mn au point e, et par conséquent eb, on aura pq à la distance ef Aabc abf, et par suite aussi abd = A abf, d'où il s'ensuit que d tombe en f. Mais si bune coupe pas mn, soit c le point où la perpendiculaire au milieu de ab rencontre pq, et soit gs=ht, de sorte que st rencontre bd prolongée en un certain point k (ce qui peut se faire comme on l'a vu au § 4). Soient, de plus, sl sa, lost, et o l'intersection de bk avec lo. On aurait alors ▲ ablabo (§ 39), et par suite A abc> abd, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

§ 41.

Des triangles équivalents abc, def ont des sommes d'angles égales.

Menons mn par les milieux de ac et de bc, et pq par les milieux de df et de fe; et soient rs || mn, to || pq. La perpendiculaire

(§ 40) a même somme d'angles que le ▲ def, et (§ 39) même somme d'angles que le A abc. Donc les triangles abc, def ont même somme d'angles.

Dans le système S, la réciproque de ce théorème est vraie. Soient, en effet, abc, def deux triangles ayant même somme d'angles, et A bal = A def. Ces derniers triangles auront, d'après ce qui précède, la même somme d'angles, et il en sera par suite de même des triangles abc, abl. Il résulte de là évidemment

bel+ble + cbl2 R.

Or (§ 31) la somme des angles de tout triangle, dans le système S, est 2 R. Donc / tombe nécessairement en c.

§ 42,

Soit u le supplément à 2 R de la somme des angles du ▲ abc, v le supplément à 2 R de la somme des angles du A def. On aura

Aabc: A defu: v.

Soit, en effet, p la valeur commune de chacun des triangles acg, gch, hcb, dfk,

kfe, et soit A abc = mp, A def = np. Désignons par s la

somme des angles d'un quelconque des triangles égaux à p. On aura évidemment 2 Rums (m1). 2 R = 2 R - m (2 R-s), et um (2 R-s); de même vn (2 R — s). Donc abc: A def = m : n=u: v. La démonstration s'étend sans peine au cas de l'incommensurabilité des triangles abc, def.

On démontre de la même manière que les triangles sur la surface de la sphère sont entre eux comme les excès des sommes de leurs angles sur 2 R. Si deux des angles du A sphérique sont droits, le troisième z sera l'excès en question. Or, en désignant par p la circonférence d'un grand cercle, ce A est évidemment (§ 32, VI). Par conséquent, un triangle quelconque

=

2

2

2π

p3 2

Ainsi, dans le système S, l'aire d'un ▲ rectiligne s'exprime au moyen de la somme des angles. Si ab croît jusqu'à l'infini, alors (§ 42) le rapport A abc: (Ru) sera constant. Or Aabe bacn (§ 32, V), et R-u-v z (§ 1). Donc

En désignant désormais, pour abréger, par A tout triangle dont le supplément de la somme des angles est z, nous aurons ainsi

A =2. i*.

On conclut de là facilement que, si oram et roab, l'aire comprise entre or, st, bc (laquelle est évidemment la limite ab

en représentant la corde cd par s. Si maintenant, au moyen d'une perpendiculaire élevée sur le milieu du rayon donné s du cercle dans un plan (ou du rayon de forme L du cercle dans F), on construit (§ 34) db

cn; en abaissant ca L db, et élevant cm L ca, on aura z; d'où (§ 37), en prenant arbitrairement un rayon de forme L pour unité, on pourra déterminer géométriquement tang'z, au moyen de deux lignes uniformes de même courbure (lesquelles, leurs seules extrémités étant données, et leurs axes construits, pourront évidemment être traitées comme des droites dans la recherche de leur commune mesure, et équivaudront sous ce rapport à des droites).

On peut, en outre, construire comme il suit un quadrilatère, par exemple, un quadrilatère régulier, d'aire. Soit abc R, bac=R, R, acb R, et bc x. On pourra exprimer X (§ 31, II) par de simples racines carrées, et le construire (§ 37).

Connaissant X, on pourra déterminer x (§ 38, ou encore §§ 29 et 35). L'octuple du Aabe est évidemment, et par là un cercle plan se trouve carré géométriquement au moyen d'une figure rectiligne et de lignes uniformes de même espèce (c'est-à-dire de lignes équivalentes à des droites quant à leur comparaison entre elles). Un cercle de la surface F est planifié de la même manière; alors ou l'Axiôme XI d'Euclide est vrai, ou l'on a la quadrature géométrique du cercle, quoique rien jus. qu'ici ne décide laquelle des deux propositions a réellement lieu.

Toutes les fois que tang' est ou un nombre entier, ou un nombre fractionnaire rationnel, dont le dénominateur (après réduction à la plus simple expression) est ou un nombre premier de la forme 2+1 (dont 2 = 2° +1 est un cas particulier), ou un produit d'autant de nombres premiers de cette forme que l'on voudra, dont chacun (à l'exception de 2, qui peut seul entrer un nombre quelconque de fois) n'entre qu'une seule fois comme facteur; on pourra, par la théorie des polygones donnée par Gauss (et pour de telles valeurs de z seulement), construire une figure rectiligne tang 'zs. Car la division de (le théorème du § 42 s'étendant facilement à des polygones quelconques) exige évidemment le partage de 2 R, lequel (comme on peut le démontrer) n'est possible géométriquement que sous la condition précédente. Dans tous les cas pareils, ce qui précède conduit facilement au but; et toute figure rectiligne peut être transformée géométriquement en un polygone régulier de n côtés, si n est de la forme indiquée par Gauss.

=

Il resterait encore, pour compléter entièrement nos recherches, à démontrer l'impossibilité de décider (sans avoir recours à quelque hypothèse) si c'est le système E, ou quelqu'un des systèmes S (et lequel) qui a lieu réellement. C'est ce que nous réserverons pour une occasion plus favorable.