vés, ni à leurs mesures quantitatives. Mais ce changement de point de point de vue est bien instructif. On constate en effet que ce n'est que dans un champ de gravitation non uniforme que l'Univers nouveau cesse d'être holonome; la courbure de l'Univers de la gravitation newtonienne se traduit par la nonuniformité du champ de gravitation. Or la Mécanique nous enseigne que dans un système où le champ de gravitation est uniforme (sans être nul), aucune expérience mécanique faite à l'intérieur du système ne permet de déceler ce champ de gravitation; c'est ainsi que sur la Terre les marées n'existeraient pas si le champ d'attraction des astres était rigouresement le même dans toute l'étendue de la Terre. Autrement dit l'espace-temps non holonome dont la structure peut être regardée comme la cause de la gravitation newtonienne ne se manifeste physiquement à nous que dans les régions précisément où il n'est pas holonome. Cette remarque aide à comprendre, il me semble, la profondeur du point de vue de M. Einstein.

y a plus. On peut chercher quelles sont les propriétés géométriques caractéristiques de l'espace-temps de la gravitation newtonienne qui traduisent les lois physiques de la gravitation elle-même. Or, remarquons que le groupe de Galilée n'est qu'une dégénérescence du groupe de Minkowski de la relativité restreinte et que, si l'Univers de la gravitation newtonienne n'est qu'un espace non holonome à groupe de Galileé, l'Univers einsteinien n'est de même qu'un espace non holonome à groupe de Minkowski. Cette relation entre les deux groupes fondamentaux permet un passage presque automatique des lois de la gravitation newtonienne aux lois de la gravitation einsteinienne: inversement les premières sont une sorte de dégénérescence des dernières, et la comparaison des deux théories, faite ainsi à leur racine même, aide à mieux comprendre chacure des deux.

5. Je voudrais maintenant signaler un point de vue tout différent. M. Levi-Civita, par sa notion de parallélisme, a donné un moyen de raccorder entre eux les espaces euclidiens tangents en deux points infiniment voisins d'un espace de Riemann, c'est à dire un moyen de définir un espace de Riemann comme espace euclidien non-holonome. Mais ce moyen n'est pas le seul; il en existe une infinité d'au tres. Le sien est le plus simple en ce sens qu'il confère à chaque petite région d'un espace de Riemann le maximum des propriétés d'un espace euclidien. On peut le caractériser par la propriété que le développeV Congresso Filosofico.

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ment de deux chemins différents ACB, AC'B joignant deux points A et B donne au point B la même position finale (si l'aire enclose par les deux chemins est infiniment petite). Au contraire toute autre espèce de parallélisme donne deux positions différentes. J'ai proposé de dire que les espaces euclidiens non holonomes ainsi définis étaient doués d'une torsion.

Il n'y a aucune raison à priori d'écarter l'idée de cette torsion, qui n'enlève pas à l'Univers son caractère essentiel, celui d'avoir le même groupe fondamental que l'Univers de la relativité restreinte. M. J. A. Schouten a essayé précisément de trouver dans la torsion possible de l'Univers une explication géométrique des phénomènes électromagnétiques, explication que M. H. W eyl avait cherchée au contraire dans la non-existence d'une unité de longueur absolue. Il est à peu près certain que les nouveaux éléments géométriques introduits par la torsion permettraient d'édifier une théorie aussi complète et aussi cohérente que celles de MM. H. Weyl et Eddington. Je veux laisser de côté ce point de vue et envisager un autre aspect possible de la question.

L'observation des phénomènes mécaniques permet théoriquement de connaître, au moins partiellement, la loi de parallélisme qui règne dans l'Univers: l'état (quantité de mouvement, énergie) d'un point matériel soustrait à l'action directe de tout autre corps est en effet représenté par un vecteur d'Univers qui, d'après la loi d'inertie, doit rester constamment et de proche en proche équipollent à lui-même. Il reste encore cependant une certaine indétermination qui permet de choisir arbitrairement entre différentes lois de parallélisme, toutes compatibles avec l'expérience. Parmi toutes ces lois une au plus fournit un Univers sans torsion, mais il pourrait arriver qu'aucune ne jouît de cette propriété. Dans sa théorie, M. Einstein s'est implicitement placé dans le premier cas. Il n'est donc pas théoriquement interdit de penser qu'en se plaçant au seul point de vue des phénomènes mécaniques, l'expérience infirmât la théorie d'Einstein et obligeât de donner une torsion à l' Univers.

Les considérations précédentes reposent cependant sur une hypothèse, à la vérité généralement admise, à savoir que l'état d'un très petit élément de matière est représenté par un vecteur unique; cela revient à dire qu'il a tous les caractères communément attribués au point matériel, en particulier que son moment de rotation autour de son centre de gravité

est négligeable devant la vitesse de ce centre. Cette hypothèse ne semble cependant pas rigoureusement compatible avec les phénomènes de magnétisme: un petit volume d'un corps aimanté placé dans un champ magnétique ne peut pas être regardé comme soumis de la part du champ à l'action d'une force, mais à celle d'un couple, et cela entraîne pour la distribution des tensions à la surface de l'élément de matière des conséquences incompatibles avec la représentation par un simple vecteur de la quantité de mouvement-énergie de l'élément. Il semblerait donc légitime d'admettre que, dans le cas général, l'état d'un élément de matière ne peut se représenter d'une manière complète que par un vecteur d'Univers et un (ou plusieurs) couple d'Univers. S'il en est ainsi, on démontre facilement que la loi de parallélisme de l'Univers est complètement accessible à l'expérience, et cela a un sens absolu de dire que l'Univers est doué ou non de torsion.

Si l'on adopte le point de vue précédent, la théorie d'Einstein doit être complétée. Il est facile de voir quelle est la manière la plus naturelle de le faire à priori. Il suffit de remarquer que la théorie d'Einstein peut se formuler d'une manière géométrique très simple: elle revient à identifier la quantité de mouvement- énergie de la matière qui remplit un petit volume à trois dimensions de l'espace-temps à la courbure élémentaire de ce petit volume. Dans un espace de Riemann (à parallélisme de Levi-Civita, c'est à dire sans torsion), cette courbure est représentée par un simple vecteur. Mais si l'espace est doué de torsion, il faut pour la représenter un vecteur et un ou plusieurs couples. Il est donc tout naturel, là encore, d'identifier la quantité de mouvement-énergie d'un élément de matière avec la courbure de la région d'Univers qu'il occupe. Malheureusement la loi de conservation de l'énergie n'est plus vérifiée en général; on serait donc réduit à admettre que cette loi de conservation n'est valable que dans les régions d'Univers où le couple de quantité de mouvement-énergie n'existe pas, et alors dans ces régions l'Univers serait sans torsion.

Les considérations précédentes ne peuvent être que des suggestions. Elles aident néanmoins, il me semble, à comprendre la variété des nouveaux problèmes que permet de poser, dans le domaine de la relativité, l'évolution récente des théories géométriques, de même que cette évolution a été puissamment inspirée par la théorie elle-même de la relativité.

N. B. Je me permets de renvoyer le lecteur, pour le dévelop pement des idées contenues dans cette communication, à mon mémoire: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, 3a série, t. XL, 1920; t. XLI, 1921, et t. XLII, 1922), ainsi qu'à un article: Sur les récentes généralisations de la notion d'espace (Bulletin des Sciences Mathématiques, 2a série, t. XLVIII, 1924) et à une conférence faite au Congrès de Toronto: La théorie des groupes et les recherches récentes de Géométrie différentielle (Enseignement mathématique, 1925).

ÉLIE CARTAN

Prof. de Géométrie Supérieure

à la Faculté des Sciences de Paris,

délégué de l'Université de Paris

aux fêtes du Centenaire de l'Université de Naples.

Sui fondamenti fisici e filosofici

della teoria della relatività

(Sunto)

La teoria della relatività sorse per riparare al fallimento dei fisici nella ricerca del moto assoluto. Le esperienze di Michelson e Morley e le altre ricerche dirette a mettere in vista il moto dei corpi rispetto all'etere aveano costantemente dato risultati negativi, e l'etere era stata l'ultima speranza nella ricerca di un sistema fisso di riferimento di cui si ha bisogno nei problemi della meccanica e della fisica. Einstein trasportò il problema dal campo della fisica a quello della matematica. Se la fisica non riesce a trovare un punto fisso a cui riferirsi per stabilire le sue equazioni, la matematica può modificare le sue equazioni in modo che non si abbia più bisogno di un riferimento fisso, può dare cioè alle equazioni una forma invariantiva in modo da poter prescindere dallo stato di moto in cui potrebbero trovarsi gli assi a cui sono riferite.

Si riuscì per gradi all' intento. La meccanica classica presenta già un primo grado di invarianza delle equazioni del moto per il caso di un moto rettilineo ed uniforme del sistema di riferimento. E la prima con

quista della teoria della relatività fu di estendere questa invarianza agli altri problemi della fisica, portandola nel campo dei fenomeni elettromagnetici. E' quella che oggi si chiama la relatività della prima specie.

La soluzione più generale si raggiunse quando Einstein riuscì a stabilire le equazioni generali del campo gravitazionale in forma invariantiva per un moto qualsiasi del sistema di riferimento. Con questa, che è la teoria generale della relatività, sembra superata la impossibilità in cui ci troviamo di conoscere il moto assoluto.

E la soluzione sarebbe certo elegante, e in un primo tempo destò l'ammirazione tanto nei profani quanto negli studiosi, in questi per il grandioso edificio matematico e per la luce che sembrava portare sulla natura della gravità, in quelli per le deduzioni più o meno fantastiche e meravigliose alle quali la teoria può condurre.

Ma, giustamente, dopo questo primo periodo di ammirazione, si cominciò a richiamare ad una analisi critica i nuovi concetti, i postulati, i risultati stessi della nuova teoria.

lo mi permetto di richiamare qui l'attenzione sopra i fondamenti stessi della teoria, tanto dal lato fisico quanto da quello filosofico.

Per ciò che riguarda il lato fisico, il postulato fondamentale posto a base della teoria della relatività è l'impossibilità in cui ci troviamo di conoscere il moto assoluto dei corpi. E a sua volta questa impossibilità è fondata sui risultati negativi delle esperienze finora eseguite. Evidentemente nessuno può asserire che tutti i modi di ricerca siano stati esauriti. Il problema del moto assoluto è un problema che si agita da secoli. Newton diceva che la determinazione del moto assoluto era cosa difficilissima, ma che non si doveva ritenere per disperata. D'altra parte io ho avuto altrove occasione di dimostrare che il concetto di moto assoluto può avere una espressione reale ben definita. E da molti si ritiene ancora a buon diritto che l'astronomia può ben dare quello che non hanno finora saputo dare le esperienze terrestri. Per questo lato, dunque, la relatività può essere considerata come ipotesi di lavoro, con valore transitorio. Una vera teoria fisica deve essere una ricostruzione teorica dello stato reale dei fatti e delle cose.

Ma la teoria, oltre al mancare di un fondamento sperimentale, è poi costruita con principi e concetti che contrastano non solo con i diritti della fisica ma anche con quelli della filosofia. Poichè si è giunti a