APPENDIX. ARTICLE I. (See page 117.) THE following article relates entirely to the question,-" How far it is true, that all mathematical evidence is resolvable into identical propositions." The discussion may, in one point of view, be regarded as chiefly verbal; but that it is not, on that account, of so trifling importance as might at first be imagined, appears from the humiliating inference to which it has been supposed to lead concerning the narrow limits of human knowledge. "Put the question," says Diderot," to any candid mathematician, and he will acknowledge, that all mathematical propositions are merely identical; and that the numberless volumes written (for example) on the circle, only repeat over in a hundred thousand forms, that it is a figure in which all the straight lines drawn from the centre to the circumference are equal. The whole amount of our knowledge, therefore, is next to nothing."-That Diderot has, in this very paradoxical conclusion, stated his own real opinion will not be easily believed by those who reflect on his extensive acquaintance with mathematical and physical science; but I have little doubt, that he has expressed the amount of the doctrine in question, agreeably to the interpretation put on it by the great majority of readers. As the view of this subject which I have taken in the text, has not been thought satisfactory by my friend M. Prévost, I have thought it a duty, both to him and to myself, to annex to the foregoing pages, in his own words, the remarks subjoined to the excellent and faithful translation with which he has honored this part of my work, in the Bibliothèque Britannique. Among these remarks, there is scarcely a proposition to which I do not give my complete assent. The only difference between us turns on the propriety of the language in which some of them are expressed; and on this point it is not surprising, if our judgments should be somewhat biassed by the phraseology to which we have been accustomed in our earlier years. The few sentences to which I am inclined to object, I have distinguished from the rest, by printing them in small capitals.-Such explanations of my own argument as appear to be necessary, I have thrown into the form of notes, at the foot of the page. In the course of M. Prévost's observations on the point in question, he has introduced various original and happy illustrations of the important distinction between conditional and absolute truths;-a subject on which I have the pleasure to find, that all our views coincide exactly. "A la fin de l'article que l'on vient de lire,* l'ingénieux auteur renvoie à ce qu'il a dit au commencement. Il pense y avoir suffisamment prouvé que l'évidence particulière qui accompagne le raisonnement mathématique ne peut pas se résoudre dans la perception de l'identité. Recourons donc à cette preuve. Elle se trouve consister toute entière en réfutation. "I. L'auteur commence par remarquer, que quelques personnes fondent l'opinion qu'il rejette sur celle qui prend les axiomes pour premiers principes. Et comme il a combattu celle-ci, il en conclut que sa conséquence doit être fausse. Un tel argument a en effet beaucoup de force pour ceux qui sont partis d'une certaine théorie sur les axiomes pour en conclure l'assertion contestée; mais il n'en a point pour les autres. Le rédacteur de cet article se range parmi ces derniers. Il a dit et i VOL. II. * Chap. II. Sect. 3. Art. II. of this volume. pense encore, que le mathématicien avance de supposition en supposition; que c'est en retournant sa pensée sous diverses formes, qu'il arrive à d'utiles résultats; QUE C'EST LA RECONNOISSANCE DE QUELQUE IDENTITÉ QUI AUTORISE CHACUNE DE SES CONCLUSIONS; et toutefois il a dit et il persiste à croire, que les axiomes mathématiques ne font que tenir la place ou de définitions ou de théorèmes; et que les définitions sont les seuls principes des sciences de la nature de la géométrie. Voici ces propres expressions.* J'observe que de bonnes définitions initiales sont les seuls principes rigoureusement suffisans dans les sciences de raisonnement pur ..........C'est dans les définitions que sont véritablement contenues les hypothèses dont ces sciences partent..........On pourroit concevoir, [toujours dans ces mêmes sciences,] que les principes fussent si nettement posés, que l'on n'y trouvât autre chose que de bonnes définitions. De ces définitions retournées, résulteroient toutes les propositions subséquentes. LES DIVERSES PROPRIÉTÉS DU CERCLE QUE SONTELLES AUTRE CHOSE, QUE DIVERSES FACES DE LA PROPOSITION QUI DÉFINIT CETTE COURBE?-C'est donc l'imperfection (peut-être inévitable) de nos conceptions, qui a engagé à faire entrer les axiomes pour quelque chose dans les principes des sciences de raisonnement pur. Et ils y font un double office. Les uns remplacent des définitions. Les autres remplacent des propositions susceptibles d'être démontrées.' "Il est manifeste que celui qui a tenu de tout temps ce langage n'a pas fondé son opinion, vraie ou fausse, relativement à l'évidence mathématique, sur une opinion fausse relativement aux axiomes; ou du moins, qu'étant si parfaitement d'accord avec Mr. Dugald Stewart en ce qui concerne les premiers principes des mathématiques, ce n'est point de là que dérive l'apparente discordance de ses expressions et de celles de son ami, sur ce qui concerne le principe de l'évidence mathématique dans la déduction démonstrative. Dès lors il est évident que ce premier argument de l'auteur reste pour lui comme nul. "II. Passons au second. Celui-ci est encore purement négatif et personnel. Il s'addresse à ceux qui dérivent, d'un principe propre à la géométrie, l'assertion que l'auteur combat. De ce que l'égalité en géométrie se démontre par la congruence, ces philosophes se pressent de conclure, que, dans toutes les mathématiques, les vérités reposent sur l'identité. Ceux donc qui n'ont jamais songé à donner un tel appui à l'assertion contestée ne peuvent absolument pas se rendre à l'attaque dirigée contre cet appui. Il est probable qu'un très-grand nombre de partisans du principe de l'identité, considéré comme base de la démonstration, se trouvent (comme le rédacteur peut ici le dire de lui-même) tout à fait étrangers à la manière de raisonner que l'auteur réfute; et n'ont point formé leur opinion relativement à l'évidence mathématique d'après la congruence (réelle ou potentielle) de deux espaces. C'est ce que le rédacteur affirme ici, quant à lui, de la manière la plus positive; et de là résulte que l'argument personnel,† dirigé contre ceux qui ont été menés d'une de ces opinions à l'autre, ne l'atteint point. "Il est un peu plus difficile de prouver cette affirmation, que quand il étoit question des axiomes, parce que ceux-ci ne peuvent pas manquer de s'offrir aux recherches du logicien, au lieu qu'il n'est pas appellé à prévoir l'application inconsidérée du principe de superposition à toute espèce de démonstration. Si cependant il fait voir que son opinion sur la démonstration dérive de principes universels et tout différens de celui qu'on a en vue, il aura fait, je pense, tout ce qu'il est possible d'attendre de lui. "Qu'il soit maintenant permis au rédacteur de quitter la tierce personne, et pour éviter quelques longueurs et quelques expressions indirectes, d'établir nettement son opinion et la marche qu'il a tenue en l'exposant. "Dès les premières pages de ma logique, je pars de la distinction à faire entre les deux genres de vérité; la conditionelle et l'absolue. Puis j'ajoute : "LE MOYEN UNIQUE, PAR LEQUEL NOUS CONNOISSONS SI UNE PROPOSITION CONDITIONNELLE EST VRAIE, OU LE CARACTERE D'UNE TELLE VÉRITÉ, EST L'identité BIEN ÉTABLIE ENTRE LE PRINCIPE ET LA CONSÉQUENCE. CETTE IDENTITÉ N'EST PAS COMPLETE SANS DOUTE; MAIS ELLE EST TELLE A QUELQUE ÉGARD, QUE LA CONSÉQUENCE DOIT ETRE TOUTE ENTIERE COMPRISE DANS LE PRINCIPE." * Essais de Philos. Tom. II. p. 29, à Genève, chez Paschoud, 1804. † Ad hominem. Essais de Phil. Tom. II. p. 2. "Le lecteur équitable voudra bien se rappeler que l'ouvrage, dont ce passage est tiré, n'est que l'esquisse d'un cours fort étendu, dans lequel se trouvent développés, par des exemples et de toute manière, les simples énoncés du texte. A peine est-il nécessaire de dire ici en explication ce que "Traitant ensuite des sciences selon leur genre, j'appelle sciences de raisonnement pur celles qui ne s'occupent que de la vérité conditionelle. Je cherche, d'une manière générale et abstraite, les caractères de ces sciences. J'en fais ensuite l'application aux mathématiques dans les deux branches qu'elles comprennent; et c'est par cette voie, que je me trouve avoir déterminé la nature de la démonstration. J'ai soin du reste de faire remarquer que la nature du raisonnement pur, ou proprement dit, ne dépend nullement du sujet, et qu'il n'est propre aux mathématiques qu'en ce sens que ces dernières s'occupent de raisonnement d'une manière exclusive et n'y mêlent point des propositions de vérité absolue, comme font les sciences de fait et d'expérience. En voilà assez, je crois, pour faire voir que ce n'est pas témérairement que j'affirme n'avoir en aucune façon conçu la nature de la démonstration d'après le point de vue borné de la superposition. Je ne puis donc, quant à moi, donner mon assentiment à un argument qui n'attaque que ceux dont l'opinion a cette base. "III. On est toujours long quand on réfute une réfutation. J'aurois donc tort de m'étendre au-delà de ce qui est strictement nécessaire pour établir nettement l'état de la question. Je ne discuterai pas des opinions qui me sont étrangères, telles que celles de Leibnitz, de l'auteur d'une Dissertation latine imprimée à Berlin en 1764, de Barrow, Condillac, Destutt-Tracy. Il me suffit d'avoir répondu, pour moi et pour ceux qui pensent comme moi, aux deux seuls argumens de l'auteur, contre l'opinion que j'ai dès long-temps adoptée. "J'ajouterai cependant un mot au sujet d'une remarque, que l'auteur introduit en disant, qu'elle est applicable à toutes les tentatives que l'on a faites pour établir l'opinion dont il s'agit. Accordant,' dit il, que toutes les propositions mathématiques puissent être représentées par la formule a=a, il ne s'en suivroit nullement que chaque pas du raisonnement, qui conduit à ces conclusions, soit une proposition de même nature.' Je prie l'auteur de cette objection de vouloir bien réfléchir un instant sur le sens du mot pas ramené à son expression propre et non figurée. Certainement un pas du raisonnement n'est autre chose qu'une proposition. Si donc on accorde que toute proposition est représentée par a=a, il faudra bien que tout pas soit de même nature.* "Quant à la lettre chiffrée, certainement elle diffère de la nonchiffrée quant aux signes écrits; comme aussi les plus exagérés partisans du principe de l'identité ne nieront pas que l'expression deux plus deux ne soit différénte de l'expression quatre. Dans l'un et l'autre cas le signe diffère, le sens que l'on a en vue est le même. "IV. Les observations précédentes ont pour but de prouver que, dans les procédés de raisonnement, (procédés que les mathématiques offrent dégagés de tout mélange,) on déduit les conséquences en s'appuyant constamment sur LE PRINCIPE D'IDENTITÉ. Je dois dire un mot maintenant de la raison pour laquelle je crois nécessaire d'établir solidement ce principe et de la mettre au-dessus de tout attaque. Cette raison est, qu'à l'instant où on le perd de vue, on court risque de confondre deux genres de vérités, que nous savons tous qu'il faut distinguer. Ce qu'il importe j'entends par l'identité complète ou non complète entre le principe et sa conséquence. Si je conclus, par example, du genre à l'espèce, il y a identité incomplète; comme lorsqu'ayant prouvé une vérité de tout polygone, je l'affirme du triangle en particulier. Il y a identité complète dans une équation. Et on entend bien que l'identité dont il s'agit est celle de la quantité, (du nombre des unités,) et non de toute autre. Ces deux exemples me semblent suffire pour prévenir toute équivoque." *That the word pas or step is a figurative expression, when applied to a process of reasoning, cannot be disputed; and the same remark may be extended to the word proposition, and to almost every other term employed in discussions connected with the Human Mind. It may be doubted, however, whether it can be correctly asserted, that a step of reasoning differs in no respect from a proposition. In our language, at least, the word step properly denotes, not a proposition, but the transition to a new proposition from others already known. Thus, when I say," the area of a triangle, having the circumference of a circle for its base, and the radius for its altitude, is greater than the area of any polygon inscribed in the circle," I enunciate a proposition. When I say, that "the area of the same triangle is less than that of any circumscribed polygon," I enunciate another proposition. But when I infer from these two propositions, that the areas of the triangle and circle are equal, I obtain possession of a new truth distinct from either; nor is it easy to imagine a more significant metaphor for expressing this acquisition, than to say, that I have advanced or gained a step in the study of geometry. de prévenir, c'est le passage inaperçu du relatif à l'absolu; c'est une conclusion vicieuse, déduite régulièrement d'une hypothèse, et témérairement appliquée à ce qui est indépendant de cette hypothèse. Ce sophisme, qui paroît grossier, a néanmoins été commis plus d'une fois et le sera, dans quelques occasions déceptrices, par ceux qui n'auront pas pleinement analysé le travail du raisonnement. "Tout se réduit, sans doute, en fait de raisonnement, à reconnoître que la conséquence est bien déduite du principe. Mais quel est le caractère auquel on reconnoîtra que cette déduction a été bien faite ? C'est ce que ne disent pas ceux qui rejettent le caractère de l'identité. Et j'avoue que je ne conçois pas quel autre on pourroit tenter d'y substituer. CELUI-LA EST SIMPLE ET CLAIR.* On peut, à chaque proposition, s'arrêter pour voir si elle n'est que le développement d'une précédente; et si, par inadvertance on sort du genre, en mêlant des faits aux hypothèses, on est ramené forcément à celles-ci. "Si Jean Bernouilli et Leibnitz avoient reconnu leurs hypothèses aussi nettement qu'Euler les reconnut plus tard, ils n'auroient pas été divisés d'opinion sur la nature des logarithmes des nombres négatifs et imaginaires. Si Huyghens n'avoit vu, dans le travail du mathématicien, que le retournement de ses propres hypothèses, il ne se seroit pas servi peut-être de l'expression que rapporte Leibnitz. Ce dernier lui ayant montré, qu'une quantité mêlée d'imaginaires pouvoit être convertie en quantité réelle, 'Huyghens,' dit Leibnitz,' trouva cela si admirable, qu'il me répondit qu'il y a là-dedans quelque chose qui nous est incompréhensible.' † "Je connois un professeur de logique, qui a coutume, dans ses cours, d'embarrasser à dessein ses élèves par des questions relatives aux rapports des quantités négatives et positives. Si un paradoxe les arrête, ils se tiennent pour avertis, qu'il ne peut y avoir dans les conséquences, que ce qui est implicitement contenu dans le principe; et ils se donnent le soin de bien affermir celui ci, je veux dire, de le réduire à des termes parfaitement clairs; après quoi, il ne leur en coûte point de lever les difficultés. Mais si l'on n'est pas bien préoccupé de cette vérité fondamentale, on ne saura à quoi imputer l'anomalie, ou l'apparente contradiction, des conséquences. "Personne n'admire plus sincèrement que je ne fais le génie de Jaq. Bernouilli, qu'il a si heureusement appliqué à la théorie des probabilités; et je ne fais certainement aucune injure à sa mémoire, en le produisant comme un exemple de la facilité avec laquelle le mathématicien, séduit par ses belles découvertes, oublie un instant quel est le genre de vérité qui lui est propre. J'ai en vue la dernière réflection de son Art de conjecturer. D'une formule (très-belle sans doute et très-ingénieuse) par laquelle ce profond penseur a apprécié la probabilité d'approcher du rapport des causes en multipliant les effets; tout-à-coup il conclut à la régularité des lɔis qui gouvernent l'univers. † "On ne me reprochera pas d'avoir tiré mes exemples des écrits de quelques raisonneurs médiocres; et l'on voudra bien croire, que si j'avois voulu puiser à ce telles sources, j'aurois eu beaucoup de facilité à multiplier mes citations. "Je pense donc enfin, qu'il faut que celui qui travaille dans les sciences de raisonnement pur soit bien averti, qu'il ne fait autre chose que retourner ses hypothèses, et que c'est là le seul moyen de prévenir des erreurs assez dangereuses. L'opinion que je soutiens n'est donc point simplement une affaire de spéculation, dont il me seroit aisé de faire le sacrifice; c'est une règle pratique qui doit servir de base à la partie de la logique qui s'occupe de cette espèce de vérité. "V. Je dirai maintenant pourquoi, ATTACHÉ, COMME JE LE SUIS, AU PRINCIPE DE L'IDENTITÉ, je crois néanmoins pouvoir espérer de ne différer qu'en apparence de l'excellent philosophe qui rejette ce principe. C'est parce que nous pensons l'un et l'autre que les définitions sont les vrais principes des mathématiques, et que tout le reste en dérive. C'est là sans doute l'objet principal. Et je m'assure, que quand ce philosophe viendra à discuter (avec plus de détail que son sujet ne l'appelloit à le * Would it not be still simpler and clearer to caution mathematicians against ever losing sight of the distinction between absolute and hypothetical truths? + Leibnitz, Opera, Tom. III. p. 372. Lettre à Varignon. "Unde tandem hoc singulare sequi videtur, quod si eventuum omnium observationes per totam æternitatem continuarentur, (probabilitate ultimo in perfectam certitudinem abeunte,) omnia in mundo certis rationibus et constanti vicissitudinis lege contingere deprehenderentur; adeo ut, etiam in maxime casualibus atque fortuitis, quandam quasi necessitatem, et, ut sic dicam, fatalitatem agnoscere teneamur; quam nescio annon Plato intendere voluerit, suo de universali rerum apocatastasi dogmate,” etc. Art. conj. p. 4, fine. |