quant à moi, donner mon assentiment à un argument qui n'attaque que ceux dont l'opinion a cette base.

"III. On est toujours long quand on réfute une réfutation. J'aurois donc tort de m'étendre au-delà de ce qui est strictement nécessaire pour établir nettement l'état de la question. Je ne discuterai pas des opinions qui me sont étrangères, telles que celles de Leibnitz, de l'auteur d'une Dissertation latine imprimée à Berlin en 1764, de Barrow, Condillac, Destutt-Tracy. Il me suffit d'avoir répondu, pour moi et pour ceux qui pensent comme moi, aux deux seuls argumens de l'auteur, contre l'opinion que j'ai dès long-temps adoptée.

"J'ajouterai cependant un mot au sujet d'une remarque, que l'auteur introduit en disant, qu'elle est applicable à toutes les tentatives que l'on a faites pour établir l'opinion dont il s'agit." Accordant, dit-il, que toutes les propositions mathema"tiques puissent être représentées par la formule a = a, il ne s'ensuivroit nullement 66 que chaque pas du raisonnement, qui conduit à ces conclusions, soit une propo"sition de même nature." Je prie l'auteur de cette objection de vouloir bien réfléchir un instant sur le sens du mot pas ramené à son expression propre et non figurée. Certainement un pas du raisonnement n'est autre chose qu'une proposition. Si donc on accorde que toute proposition est représentée par a=a, il faudra bien que tout pas soit de même nature.

*

"Quant à la lettre chiffrée, certainement elle diffère de la non-chiffrée quant aux signes écrits; comme aussi les plus exagérés partisans du principe de l'identité ne nieront pas que l'expression deux plus deux ne soit différente de l'expression quatre. Dans l'un et l'autre cas le signe diffère, le sens que l'on a en vue est le

même.

my assent to an argument which bears upon those only whose opinion rests upon this foundation.

III. In refuting a refutation we are necessarily prolix. I should then be wrong to go farther than is strictly necessary to establish clearly the state of the question. I will not discuss opinions which are foreign to me; such as those of Leibnitz, of the author of the latin Dissertation printed at Berlin in 1764, of Barrow, Condillac, Destutt-Tracy. It is sufficient that I answer, for myself and for those who think with me, the only two arguments of the author against the opinion which I have for a long time adopted.

I shall add, nevertheless, one word on the subject of a remark, which the author introduces by saying, that it is applicable to all the attempts which have been made to establish the opinion of which he treats. "Granting," says he, "for "the sake of argument, that all mathematical propositions may be represented by "the formula a = a, it would not therefore follow, that every step of the reason"ing leading to these conclusions, is a proposition of the same nature." I beg the author of this objection, for a moment to reflect upon the meaning of the word step, when recalled to its literal expression. Certainly, a step of reasoning differs in no respect from a proposition. If then we grant that every proposition is represented by aa, it will follow, that every step is of the same nature.*

As to the letter in cyphers, certainly it differs from one not in cyphers as respects written signs; as also the most zealous partizans of identity will not deny that the expression, two plus two, is different from the expression four. In both cases the sign is different, the sense which we see it in, is the same.

That the word pass or step is a figurative expression, when applied to a process of reasoning, cannot be disputed; and the same remark may be extended to the word proposition, and to almost every other term employed in discussions connected with the Human Mind. It may be doubted, however, whether it can be correctly asserted, that a step of reasoning differs in no respect from a proposition. In our language, at least, the word step properly denotes, not a proposition, but the transition to a new proposition from others already known. Thus, when I say, "the area of a triangle, having the circum"ference of a circle for its base, and the radius for its altitude, is greater than the area of any polygon inscribed in the circle," I enunciate a proposition. When I say that "the area of the same triangle is less than that of any circumscribed polygon," I enun ciate another proposition. But when I infer from these two propositions, that the areas of the triangle and circle are equal, I obtain possession of a new truth distinct from either; nor is it easy to imagine a more significant metaphor for expressing this acquisition, than to say, that I have advanced or gained a step in the study of geometry.

66

«IV. Les observations précédentes ont pour but de prouver que, dans les procédés de raisonnement (procédés que les mathématiques offrent dégagés de tout mélange,) on déduit les conséquences en s'appuyant constamment sur LE PRINCIPE D'IDENTITE. Je dois dire un mot maintenant de la raison pour laquelle je crois nécessaire d'établir solidement ce principe et de la mettre au-dessus de tout attaque. Cette raison est, qu'à l'instant où on le perd de vue, on court risque de confondre deux genres de vérités, que nous savons tous qu'il faut distinguer. Ce qu'il importe de prévenir, c'est le passage inaperçu du relatif à l'absolu; c'est une conclusion vicieuse, déduite régulièrement d'une hypothèse, et témérairement appliquée à ce qui est indépendant de cette hypothèse. Ce sophisme, qui paroît grossier, a néanmoins été commis plus d'une fois et le sera, dans quelques occasions déceptrices, par ceux qui n'auront pas pleinement analysé le travail du raisonnement.

"Tout se réduit, sans doute, en fait de raisonnement, à reconnoître que la conséquence est bien déduite du principe. Mais quel est le caractère auquel on reconnoîtra que cette déduction a été bien faite ? C'est ce que ne disent pas ceux qui rejettent le caractère de l'identité. Et j'avoue que je ne conçois pas quel autre on pourroit tenter d'y substituer. CELUI-LA EST SIMPLE ET CLAIR.* On peut, à chaque proposition, s'arrêter pour voir si elle n'est que le développement d'une précédente; et si, par inadvertance on sort du genre, en mêlant des faits aux hypothèses, on est ramené forcément à celles-ci.

"Si Jean Bernouilli et Leibnitz avoient reconnu leurs hypothèses aussi nettement qu'Euler les reconnut plus tard, ils n'auroient pas été divisés d'opinion sur la nature des logarithmes des nombres négatifs et imaginaires. Si Huyghens n'avoit vu, dans le travail du mathématicien, que le retournement de ses propres hypothèses, il ne se seroit pas servi peut-être l'expression que rapporte Leibnitz. Ce dernier lui ayant montré, qu'une quantité mêlée d'imaginaires pouvoit être convertie en quantité réelle, "Huyghens, dit Leibnitz, trouva cela si admirable, qu'il me ré"pondit qu'il y a lá-dedans quelque chose qui nous est incompréhensible."+

IV. The preceding observations have for their object, to prove, that in processes of reasoning, processes which the mathematics offer free of every mixture, we deduce consequences by resting constantly upon the principle of identity. I ought now, to say a word upon the reason for which I think it necessary to establish solidly this principle, and to put it beyond all controversy. This reason is, that the instant we lose sight of it, we run the risk of confounding two kinds of truth, which we all know ought to be distinguished. What it is necessary to prevent, is the unperceived passage of the conditional to the absolute. It is a vicious conclusion deduced regularly from an hypothesis, and rashly applied to what is independent of this hypothesis. This sophism, which appears gross, has nevertheless often been fallen into, and will be so on some deceptive occasions, by those who shall not have fully analyzed the labour of reasoning. Every thing is reduced, without doubt, in the process of reasoning, to the certainty that the consequence is fairly deduced from the premises. But what is the character by which we shall be able to know that this deduction has been truly made? This is what they do not tell us, who reject the character of identity. And I confess, I cannot conceive what other they can attempt to substitute. This is simple and clear.* We are able at each proposition, to stop, and consider whether it be any thing more than a developement of the former, and if, by inadvertence we go out of the genus, mixing facts and hypotheses, we are forcibly reminded of these last.

If John Bernouilli and Leibnitz had reviewed their reasonings, as clearly as Euler afterwards did, they would not have been divided in opinion respecting the nature of the logarithms of negative and imaginary numbers. If Huyghens had seen, in the labour of the mathematician, nothing but the recollection of his own hypotheses, he perhaps would not have made use of an expression which Leibnitz relates. This last having shewn him, that a quantity compounded of impossible quantities, could be converted into a real quantity, "Huyghens," says Leibnitz, found this so wonderful, that he answered me, 'There is in this, something, "which is incomprehensible by us.'Ӡ

*Would it not be still simpler and clearer to caution mathematicians against ever losing sight of the distinction between absolute and hypothetical truths ?

Leibnitz. Opera, Tom. III. p. 372. Lettre à Varignon.

"Je connois un professeur de logique, qui a coutume, dans ses cours, d'embarrasser à dessein ses élèves par des questions relatives aux rapports des quantités négatives et positives. Si un paradoxe les arrête, ils se tiennent pour avertis, qu'il ne peut y avoir dans les conséquences, que ce qui est implicitement contenu dans le principe; et ils se donnent le soin de bien affermir celui-ci, je veux dire, de le réduire à des termes parfaitement clairs; après quoi, il ne leur en coûte point de lever les difficultés. Mais si l'on n'est pas bien préoccupé de cette vérité fondamentale, on ne saura à quoi imputer l'anomalie, où l'apparente contradiction, des conséquences.

"Personne n'admire plus sincèrement que je ne fais le génie de Jaq. Bernouilli, qu'il a si heureusement appliqué à la théorie des probabilités; et je ne fais certainement aucune injure à sa mémoire, en le produisant comme un exemple de la facilité avec laquelle le mathématicien, séduit par ses belles découvertes, oublie un instant quel est le genre de vérité qui lui est propre. J'ai en vue la dernière réflec tion de son Art de conjecturer. D'une formule (très-belle sans doute et très-ingenieuse) par laquelle ce profond penseur a apprécié la probabilité d'approcher du rapport des causes en multipliant les effets; tout-à-coup il conclut à la régularité des lois que gouvernent l'univers.*

"On ne me reprochera pas d'avoir tiré mes exemples des écrits de quelques raisonneurs médiocres; et l'on voudra bien croire, que si j'avois voulu puiser à de telles sources, j'aurois eu beaucoup de facilité à multiplier mes citations.

"Je pense donc enfin, qu'il faut que celui qui travaille dans les sciences de raisonnement pur soit bien averti, qu'il ne fait autre chose que retourner ses hypothèses, et que c'est là le seul moyen de prévenir des erreur assez dangereuses. L'opin

I know a professor of Logic, who has a custom in his course, designedly to embarrass his pupils with questions respecting the relations of negative and positive quantities. If a paradox stops them, they consider themselves as warned, that nothing ought to be foured in the consequences, which is not implicitly contained in the premises, and they are careful to establish this, I mean, to reduce it to terms perfectly clear. After this, they have no farther difficulties. But, if they are not fully possessed of this important truth, they will not know to what to impute the anomaly, or apparent contradiction of the consequences.

No one admires more sincerely than I, the genius of James Bernouilli, who has applied himself so happily to the theory of Probabilities; and certainly I do no injury to his memory, when I produce him as an example of the facility with which a mathematician, seduced by beautiful discoveries, forgot for an instant, what kind of truth comes within his province. I have in view the last reflexion of his Art of Conjecture. From a formula (very beautiful and very ingenious) by which this profound thinker has appreciated the probability of approaching the knowledge of causes by multiplying effects; he suddenly concludes as to the regularity of the laws which govern the universe.*

I cannot be reproached with having drawn my examples from the writings of ordinary reasoners; and it will be easily believed, that if I wished to draw from such sources, I could, without difficulty, multiply my citations.

In short, I am of opinion, that whoever labours in the sciences of pure reasoning should be reminded, that it is absolutely necessary to examine repeatedly his hypotheses, and that this is the only means to avoid dangerous errors. The opinion

Unde tandem hoc singulare sequi videtur, quod si eventuum omnium observationes per totam æternitatem continuarentur (probabilitate ultimo in perfectam certitudinem abeunte), omnia in mundo certis rationibus et constanti vicissitudinis lege contingere depre henderentur; adeo ut, etiam, in maxime casualibus atque fortuitis, quandam quasi necessitatem, et, ut sic dicam, fatalitatem agnoscere teneamur; quam nescio annon Plato intendere voluerit, suo de universali rerum apocatastasi dogmate, etc † Art. conj. p. 4. fine.

+[Hence this singular consequence would happen, that if observations of all events were continued through all eternity, (as the probability would at last end in absolute certainty,) all things in the world would be perceived to depend on fixed rules and a regular law of vicissitude; so that, even in events the most casual and accidental, we should be held to believe in a certain necessity, and, if I may so speak, fatality. This, possibly, Plato might intend by his revolving Period.]

ion que je soutiens n'est donc point simplement une affaire de spéculation, dont il me seroit aisé de faire le sacrifice; c'est une règle pratique qui doit servir de base à la partie de la logique qui s'occupe de cette espèce de vérité.

"V. Je dirai maintenant pourquoi, ATTACHE COMME JE LE SUIS, AU PRINCIpe de l'idenTITE, je crois néanmoins pouvoir espérer de ne différer qu'en apparence de l'excellent philosophe qui rejette ce principe. C'est parceque nous pensons l'un et l'autre que les definitions sont les vrais principes des mathématiques, et que tout le reste en dérive. C'est là sans doute l'objet principal. Et je m'assure, que quand ce philosophe viendra à discuter (avec plus de détail que son sujet ne l'appeloit à le faire) le vrai caractère de la bonne déduction, il finira par admettre, sinon les mêmes expressions, du moins au fond le même principe que j'emploie.

"Je vois en effet, et par son ouvrage et par sa correspondance, que ce sont les expressions sur-tout qu'il censure; et quant à ce point là, je serai très-disposé à y apporter les changemens qu'il voudra bien lui-même me suggérer, pourvu toutefois qu'elles rendent correctement ma pensée.

"Ainsi après lui avoir exposé, dans une lettre, mes idées au sujet du principe d'identité, j'ajoutois: "Tout cela revient à dire, que la conséquence est con"tenue toute entière dans le principe. Ne pourroit-on pas donner à toutes les "propositions mathématiques cette tournure: Dire telle chose, c'est dire telle autre "chose?" Mr Dugald Stewart me répond là-dessus; "Je suis parfaitement d'ac"cord avec vous, quant à l'esprit et à la substance de votre remarque. Celui qui "admet la définition ou l'hypothèse ne peut pas nier ses diverses conséquences logi"ques, pourvu qu'il soit en état de comprendre chaque pas de la marche par la"quelle le principe et les conséquences sont liés ensemble. Je ne suis pas sûr toute"fois que, pour le gros des lecteurs, vous ne présentiez pas cette proposition d'une "manière trop concise et trop figurée, quand vous dites que la conséquence est " contenue dans le principe, où qu'affirmer l'un c'est affirmer l'autre. Tout au "moins je pense qu'il y a lieu de craindre que ces expressions ne suggérent de faus"ses idées à ceux qui ne prendront pas garde au sens précis que vous donnez aux "mots que vous employez." Je suis donc tout prêt à remplacer le mot contenue par un équivalent. Mais ce mot me semble pris ici dans un sens familier aux logi

which I maintain is not then simply a matter of speculation, which I could easily sacrifice. It is a practical rule, which ought to serve as the foundation of that part of logic which treats of this species of truth.

V. I shall now state, why, attached as I am to the principle of Identity, I nevertheless may hope, that I differ only apparently from the excellent philosopher who rejects this principle. It is because we both think that definitions are the true principles of mathematics, and that all the rest are derived from them. This is without doubt the principal object. And I assure myself, that when this philosopher shall come to discuss, with more detail than his subject has called him to do, the true character of just deduction, he will conclude by admitting, if not the same expressions, at least what is at bottom, the same principle which I employ.

I see in reality, both by his work and by his correspondence, that it is the mode of expression to which he principally objects; and as to this point, I shall be well disposed to make such changes as he shall suggest, provided always, that they correctly express my meaning.

Thus, after having exhibited in a letter, my ideas on the subject of the principle of Identity, I add, all this is no more than saying, that the consequence is wholly contained in the premises. May we not give to all mathematical propositions this turn, To affirm such a thing is to affirm such another thing? Mr. Dugald Stewart answers me as above: "I perfectly agree with you, in the spirit and substance "of your remark. He who admits the definition or hypothesis, cannot deny its "different logical consequences, provided he be able to comprehend every step of "the progress by which the principle and the consequences are united. I am not "sure, nevertheless, that, for the bulk of readers, you do not present this proposi❝tion in a manner too concise and too figurative, when you say that the conse66 quence is contained in the principle, or, that to affirm the one is to affirm the "other. Above all, I think there is reason to fear, that these expressions may 66 suggest false ideas to those who do not carefully adhere to the precise sense which you give to the words which you make use of." I am very ready to exchange the word, contained, for an equivalent, but this word seems to me to be taken in a

ciens; car c'est précisément ainsi que l'on dit communément que l'espèce est comprise dans le genre.*

"Un autre mot, que relève Mr Dugald Stewart, est celui de proposition identique. Il me fait remarquer, que plusieurs bons logiciens ont appelé de ce nom les propositions qui ne font que répéter le même mot aux deux termes (A est A), et qu'ils désignent ces propositions comme inutiles et nugatoires. Je renoncerai sans discussion, sur l'autorité de ces logiciens, à l'expression que j'ai adoptée, quoique je puisse opposer autorité à autorité. Mais je desire conserver un mot qui exprime, de manière ou d'autre, ma pensée. Comme dit Campbell,‡ cette phrase quatre "est quatre," n'offre qu'une proposition inutile et véritablement nugatoire. Mais dire "deux fois deux font quatre," c'est présenter la même idée sous deux faces; et un tel travail est, comme on sait, fort utile. Je m'étois accoutumé à appeler

sense familiar to logicians; for it is precisely in the same manner that we say the species is contained in the genus.*

Another word which offends Mr. Stewart, is that of an identical proposition.† He reminds me, that many good logicians have called by this name, propositions which do nothing more than repeat the same word in the two terms, (a is a,) and that they designate these propositions as nugatory and useless. I will renounce without discussion, upon the authority of these logicians, the expression which I have adopted, although I could oppose authority to authority. But I am desirous to retain a word which expresses in some mode or other my meaning. As Campbell says, This phrase, four is four, presents a proposition entirely useless and nugatory. But to say, twice two are four, is to present the same idea in a different light; and this is often, as we know, very useful. I am accustomed to call the for

"Si l'on peut dire que la notion de triangle est comprise dans celle de polygone, on pourra dire de certaines propositions sur les triangles qu'elles sont comprises dans leurs analogues sur les polygones. Si donc on a prouvé, par exemple, que dans tout polygone, les angles extérieurs sont égaux à quatre droits, ou pourra de ce principe tirer la consé. quence pour les triangles. Et cette conséquence semble pouvoir être dite contenue dans son principe."{

With this remark I perfectly agree; for he who knows the general theorem is in actual possession of all its particular cases; insomuch that, after this theorem has been once brought to light, no other person can afterwards lay claim to any one of the cases as an original discovery. After it had been demonstrated, for instance, that in every rec tilineal figure, the exterior angles are equal to four right angles, no geometer could well think of announcing, as a new proposition, that the same theorem holds with respect to every triangle. The particular cases, therefore, may all be said, with perfect propriety, to be contained in the general theorem. But how widely does this differ from the meaning annexed to the same word, when it is said, that all the properties of the circle, whether discovered or undiscovered, are contained in Euclid's definition of that curve?

+"Mr. Dugald Stewart reproche aussi quelque part au mot d'identité d'être emprunté des scolastiques, mais ce n'est point là une tache à mon avis; car (comme disoit Leibnitz en parodiant un mot de Virgile ;) il y a de l'or dans ce fumier. De plus en An glais on pourroit peut-être se passer de ce mot, en Français on ne le peut pas. Nous par loDs une langue tímide, qui s'effraie du moindre néologisme."||

Voyez Bibl. Brit. p. 32 de ce volume,-Littérat. Vol. LVIII. No. 3, Mars 1815.

} [If we are permitted to say, that the notion of a triangle is comprised in that of a polygon, we may say of certain propositions upon triangles, that they are comprised in their analagous propositions upon polygons. If, then, having proved that in every polygon the exterior angles are equal to four right angles, we may from this principle, draw the consequence for the triangles. And it seems not improper to say, that this consequence is contained in the principle.]

[Mr. Dugald Stewart objects in some measure to the word identity, that it is borrow. ed from the schools, but this in my opinion is not a fault, for (as Leibnitz says in a parody upon a line in Virgil) there is gold in this smoke. Besides, in English they may be able to do without this word. In French, we cannot. We speak a language which is timid, and fearful of the least neologism.]